Iniciación al Álgebra: series de figuras

En esta época del curso, andamos metidos con el Álgebra en casi todos los cursos. Ecuaciones, incógnitas, variables y demás son el pan nuestro de cada día en clase de Matemáticas. La ¿excesiva? "algebrización" sufrida en nuestra disciplina además de la capacidad de abstracción necesaria para razonar algebraicamente, hace que tener una buena base en este aspecto sea clave para poder llegar a buen puerto. Y esa base de la competencia algebraica se adquiere en los primeros cursos.
Una buena propuesta en los cursos iniciales es iniciar el acercamiento al Álgebra de los alumnos describiendo regularidades en secuencias de figuras geométricas en las que intervienen tanto su forma como los colores que aparecen en ellas.
Así, en clase hemos presentado los alumnos la siguiente serie de figuras:

Fuente: elaboración propia

La primera tarea consistió en que los alumnos dibujasen las dos figuras siguientes reconociendo patrones de "crecimiento" en la figura. A continuación, tocaba contar: la primera figura está formada por 5 cuadrados, la segunda por 9 cuadrados y la tercera por 13 cuadrados. A la vista de las dos siguientes figuras, comprobamos que a cada paso se añaden 4 cuadrados. Pues bien, ahora el objetivo es completar una tabla como esta.

Figura	1ª	2ª	3ª	4ª	5ª	6ª	7ª	10ª	25ª	100ª
Cuadrados	5	9	13

Para la cuarta, quinta, sexta y séptima figura ya sabemos que hay que sumar 4. Ahora vamos a la décima. No habría problema en calcular mentalmente y ver que la décima figura de nuestra serie tiene  41 cuadrados. La tabla, ahora, sería:

Figura	1ª	2ª	3ª	4ª	5ª	6ª	7ª	10ª	25ª	100ª
Cuadrados	5	9	13	17	21	25	29	41

Pero ahora tenemos que decir cuántos cuadrados tiene la vigésimoquinta figura. El sistema que hemos empleado puede valer pero nos toca hacer muchas cuentas. Conviene pensar ¿no?
Si nos fijamos, la forma de las figuras es de cruz griega (no latina). Todas tienen en el centro un cuadrado. Y ¿cuántos cuadrados tiene cada brazo? ¡Pues el mismo número que el lugar que ocupa en la serie! Por ejemplo, en la tercera figura:

Fuente: elaboración propia

Es decir, el número de cuadrados para la tercera figura es 3 + 3 + 3 + 3 + 1 o, lo que es lo mismo:

4·3 + 1 = 13

Por el mismo razonamiento, la figura vigésimo quinta tendrá:

4·25 + 1 = 101 cuadrados

Y la centésima figura tendrá 4·100 + 1 = 401 cuadrados.

Así, pudimos completar la tabla.

Ahora viene el tema de la competencia algebraica con el que hemos empezado: si la figura ocupa el enésimo lugar (lugar n), ¿cuántos cuadrados tendrá? Esa n es una letra que representa, en este caso, cualquier lugar en la serie, cualquiera, es variable. Pues bien fácil:

la figura que ocupa el lugar n tendrá 4·n+1 cuadrados

De esta forma consideramos la variable como el indicativo de un número determinado. Posteriormente, será fundamental distinguir entre el uso de las variables en una ecuación, una identidad o una fórmula. 
Pues la siguiente tarea consistió en que cada alumno "se inventase" una serie de figuras y, evidentemente, completase la tabla como la que hemos hecho. algunas propuestas fueron estas:

Para terminar, realizamos las series propuestas con ordenador:

Para cada una de las 5 series presentadas, ¿te atreves a completar la tabla?

Figura	1ª	2ª	3ª	4ª	5ª	6ª	7ª	10ª	25ª	100ª	n
Cuadrados

Bonus track: Mira esta figura:

Fuente: elaboración propia

Si el lado del triángulo más pequeño vale 1, escribe los números que representan el perímetro de los triángulos desde el más interior hasta el más exterior. 

Escribe los números que dan el área de cada triángulo desde el pequeño si éste tiene área 1.