miércoles, 10 de enero de 2018

Conicógrafos: mecanismos que trazan cónicas

Fuente: Wikipedia
Tirando de Wikipedia, se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas.
En esta entrada vamos a estudiar las cónicas relacionando sus ecuaciones con mecanismos articulados que son capaces de trazarlas, esto es, los conicógrafos.
Hay 4 tipos de cónicas: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia. Sus nombres se deben a Apolonio de Pérgamo (c. 262 - 190 a.C.) quien, en su obra Sobre las secciones cónicas, define y describe las propiedades fundamentales de estas curvas. 

En las siguientes construcciones dinámicas con Geogebra (Francisco Orti), se puede ver el porqué del nombre de secciones cónicas.
Los geómetras de la escuela de Platón y todos los matemáticos posteriores, al estudiar este tipo de curvas, se preocuparon en buscar los medios adecuados para trazarlas.

Fuente: Katalog mathematischer und mathematisch-physikalischer Modelle
Se tiene constancia de un elipsógrafo de barras deslizantes atribuido a Proclo (410 - 485) consistente en dos barras rígidamente unidas con dos ranuras por las que se deslizan dos pivotes de una tercera barra. Cualquier punto de esta última barra traza una elipse. En el siguiente vídeo puede verse el movimiento del mecanismo:



En este vídeo se puede ver el proceso para obtener dicha construcción.

En el siglo XVII una figura prevalece sobre las demás: René Descartes (1596 - 1650). A principios de este siglo fue posible representar una gran variedad de conceptos aritméticos y relaciones gracias al recién nacido lenguaje algebraico.

Descartes es señalado como el padre de la geometría analítica pero no hay en la Geometría gráfica de ecuación alguna. Las curvas eran construidas por acciones geométricas la mayor parte de las cuales eran representadas mediante instrumentos mecánicos. Una vez dibujadas las curvas, Descartes introducía el sistema de coordenadas para analizar el proceso de construcción de la curva y obtener una ecuación que representara dicha curva. Así, las ecuaciones no creaban las curvas; éstas generaban ecuaciones. Descartes es el primero que considera estudiar las curvas cinemáticamente aunque sólo da un ejemplo para las cónicas, en particular para una hipérbola.

Un seguidor de Descartes, Franz van Schooten el joven (1615 - 1668), en su tratado De organica conicarum sectionum in plano descriptione tractatus publicado en 1675, presenta seis mecanismos para dibujar cónicas:

Fuente: https://sites.google.com/site/tesislinkages/home 
En el siguiente vídeo, se puede ver una simulación del hiperbológrafo nº 3 en movimiento:



Actividad 1: en los siguientes enlaces:
se presentan tres construcciones dinámicas realizadas con Cinderella.2 correspondientes a los tres conicógrafos de van Schooten basados en rombos articulados (números 4, 5 y 6) respetando la notación original: 
  • Descargar los 3 archivos
  • Abrirlos con el programa Cinderella.2
  • Estudiar el funcionamiento de los tres conicógrafos cambiando la posición de los puntos y las medidas de las barras.

Ahora vamos a relacionar estas curvas generadas mediante mecanismos articulados con las ecuaciones de las cónicas.

Actividad 2
  • Descargar la construcción (haciendo clic en la imagen) y disponer el elipsógrafo de forma que la curva que genere coincida con la elipse de ecuación
Fuente: https://sites.google.com/site/tesislinkages/propuestas-didacticas/aula5
  • Descargar la construcción (haciendo clic en la imagen) y disponer el hiperbológrafo de forma que la curva que genere coincida con la hipérbola de ecuación

Fuente: https://sites.google.com/site/tesislinkages/propuestas-didacticas/aula5
  • Descargar la construcción (haciendo clic en la imagen) y disponer el parabológrafo de forma que la curva que genere coincida con la parábola de ecuación
Fuente: https://sites.google.com/site/tesislinkages/propuestas-didacticas/aula5


Veamos ahora algunos elementos y porpiedades de las cónicas. Cinderella.2 tiene cuatro herramientas:

Fuente: Cinderella.2
mediante las cuales es posible generar cónicas dados algunos de sus elementos: traza la cónica que pasa por cinco puntos, traza una elipse dados sus focos y un punto, traza una hipérbola dados sus focos y un punto y, por último, traza una parábola dado el foco y la directriz. 

Actividad 3
  • Trazar una elipse dados sus focos y un punto. Después, generar los ejes de la elipse. Con la herramienta medir distancia, hallar las distancias del punto de la elipse a los focos. Definir otro punto en la elipse, hallar las distancias de este punto a los focos y comprobar que la suma de distancias de un punto de la elipse a los focos es constante.

  • Trazar una hipérbola dados sus focos y un punto. Después, generar los ejes de la hipérbola y las asíntotas. Con la herramienta medir distancia, hallar las distancias del punto de la hipérbola a los focos. Definir otro punto en la hipérbola, hallar las distancias de este punto a los focos y comprobar que la diferencia de distancias de un punto de la hipérbola a los focos es constante.

  • Trazar una parábola dado el foco y la directriz. Después, generar el eje de la parábola. Definir un punto en la parábola y con la herramienta medir distancia, comprobar que coinciden las distancias al foco y a la directriz.

En las construcciones anteriores, se puede cambiar la imagen de fondo para insertar otras cónicas generadas por ecuaciones algebraicas distintas de cara a estudiar la posición en el plano de los focos, la directriz, etc. La imágenes de las cónicas generadas por ecuaciones han sido obtenidas con la calculadora gráfica online Desmos.


Espero que con estas actividades el acercamiento a las cónicas sea muy visual más allá de la aridez propia del cálculo que deben realizar los alumnos de Bachillerato.
Salu2. Javier





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